什么是三垂线定理怎样理解
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
定理中涉及到的几何元素是：
（1）一个平面；
（2）四条直线：①平面的垂线；②平面的斜线；③斜线在这个平面内的射影；④平面内的一条直线。
（3）三个垂直：①垂线与平面垂直；②平面内的直线和斜线在这个平面内的射影垂直；③平面内的直线和斜线垂直。
扩展资料：
用向量证明三垂线定理：
1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA
证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）
∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，
∴PA⊥向量b。
三余弦定理：平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。
例如：OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OC。若∠POC=α（斜线与平面所成角），AB与OC所成角为β（射影与直线所成角），OP与AB所成角为γ（直线与斜线所成角），则cosγ=cosαcosβ
显然，三垂线定理就是当β=90°的情况。直线垂直射影有cosβ=0，因此cosγ=0，即直线与斜线也垂直。
延伸阅读
三垂线定理以及证明方法
三垂线定理:平面内的一条直线a， 如果和平面的斜线 l在平面上的射影垂直， 则这条直线a与斜线l垂直 。
它的证明方法是先证明线面垂直 ，进而证明线线垂直 。
1.过斜线l上的一点P作平面的垂线 PO，那么垂足O与斜足A的连线AO就是斜线在平面上的射影 。
2. 可以证明 PO⊥a,又a⊥AO，所以，a⊥平面PAO。
3.因为斜线l在平面PAO内，故，直线a⊥斜线l.。
三垂线定理
答
平面内的一条直线，与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么就和这条斜线垂直。该定理称之为三垂线定理。
三垂直定理
三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。三垂线定理是立体几何的重要定理之一，由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线，故称为三垂线定理。
其实三垂线定理从证明的角度看，可以认为是线面垂直转化关系的一个常用推论。这是一个标准的从线线垂直（一般是共面）转化为线面垂直又转化为新的线线垂直（一般是异面）的立体几何推理过程。
但换一个观点和角度来看，三垂线定理的价值在于将一个需要进行多次转化而且模式基本确定的证明过程以定理的形式规范下来，这使得在相关的证明（之后还有计算）过程中书写难度得到有效降低，在部分复杂题目中更是如此。
而从很多立体几何题目设计的思路来看，经常会出现两条看似无关直线（一般是异面）的关系问题，一般方法是让他们在不同平面中分别找关系，然后利用一个桥梁进行沟通；三垂线定理正是提供了这样一个可以进行简便沟通的方式。
数学三垂线定理
二面角的问题，在一个平面内，向两个平面的交线作垂线，则这个垂线在另一个平面内的投影，也垂直于两个平面的交线，必然构成一个三垂线定理的关系。
因此解二面角的问题，总是可以使用三垂线定理的。而且，这个垂线与它在另一个平面内的投影之间的夹角，就是二面夹角的定义。有一条线垂直面内一对垂线
三垂线定理是什么
定义
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
编辑本段
逆定理
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
核心就是两两垂直，一定要理解，立体几何基础常用的工具
立体几何中的三垂线是什么
你说的应该是三垂线定理。
设直线PA垂直于平面α于A（垂足），PB与平面α交于点B（斜足），AB就是斜线PB在平面α内的射影，设l为平面α内的任一直线，那么有：
三垂线定理：若直线l垂直于射影AB，则l也垂直于斜线PB。
三垂线定理逆定理：若直线l垂直于斜线PB则l也垂直于射影AB。
注意的是，现在高中数学教材中已经没有了这两个定理，如果需要使用，应该给予证明。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
线面垂直证明，例如已知：PO 在 α 上的射影 OA 垂直于 a 。求证：OP⊥a。
∵PA⊥α且a?α，∴a⊥PA。
∴a⊥平面POA，∴a⊥OP。
扩展资料
注意事项：
三垂线定理对任意位置的平面都成立。因为定理中并没有水平平面的限制，定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关。因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有情况：不过斜足O的异面垂直。
